PRESENTACION, PEDAGOGIA VERSUS TECNOLOGIA.

https://docs.google.com/present/view?id=dfnjzsh7_7dcd5wshm

PEDAGOGIA VERSUS TECNOLOGIA, RELACION.

https://docs.google.com/document/pub?id=1qg_MD4clEVbXOCK0L9xtko3U3kZX8-y0zCJir1YtqXE

CALCULO I. FUNCIONES.

Si f y f' son derivables en a, a es un:

Punto de inflexión

Si f'' = 0

y f''' ≠ 0

Cálculo de los puntos de inflexión

Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si:

f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.

3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.

Ejemplo

Hallar los puntos de inflexión de:

f(x) = x³ − 3x + 2

f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.

f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.

f(0) = (0)³ − 3(0) + 2 = 2

Punto de inflexión: (0, 2)

Si ya hemos estudiado la concavidad y convexidad de una función habrá:

Puntos de inflexión en los puntos en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa.

Ejemplo

Calcular los puntos de inflexión de la función:

Tenemos un punto de inflexión en x = 0, ya que la función pasa de convexa a concava.

Punto de inflexión (0, 0)

CALCULO I. FUNCIONES.

Extremos relativos

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

1. Si f'(a) = 0.

2. Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

1. f'(a) = 0

2. f''(a) > 0

Cálculo de máximos y mínimos

Para hallar los extremos locales seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.

2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de derivada primera y si:

f''(a) < 0 es un máximo relativo

f''(a) > 0 es un mínimo relativo

3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.

Ejemplo

Calcular los máximos y mínimos de:

f(x) = x³ − 3x + 2

f'(x) = 3x² − 3 = 0

f''(x) = 6x

f''(−1) = −6 Máximo

f''(1) = 6 Mínimo

f(−1) = (−1)³ − 3(−1) + 2 = 4

f(1) = (1)³ − 3(1) + 2 = 0

Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

Si ya hemos estudiado el crecimiento y decrecimiento de una función habrá:

1. Un máximo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de creciente a decreciente.

2. Un mínimo en el punto, de la función, en la que ésta pasa de decreciente a creciente.

Ejemplo

Hallar los máximos y mínimos de:

Tenemos un mínimo en x = 3

Mínimo(3, 27/4)

En x = 1 no hay un máximo porque x = 1 no pertenece al dominio de la función.

Si f y f' son derivables en a, a es:

Cóncava

Si f''(a) > 0

Convexa

Si f''(a) < 0

Intervalos de concavidad y convexidad

Para calcular los intervalos la concavidad y convexidad de una función seguiremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).

3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.

Si f''(x) > 0 es cóncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.

4. Escribimos los intervalos:

Ejemplo de intervalos de concavidad y convexidad

CALCULO I. FUNCIONES.

Las ramas parabólicas se estudian sólo si:

Rama parabólica en la dirección del eje OY

Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje vertical.

Ejemplo

Estudiar las ramas parabólicas de la función:

 Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY.

Rama parabólica en la dirección del eje OX

Se dice que f tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX cuando:

Esto quiere decir que la gráfica se comporta como una parábola de eje horizontal.

Ejemplo

Estudiar las ramas parabólicas de la función:

 Tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX.

Crecimiento en un punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente creciente en a si:

f'(a) > 0

Decrecimiento en un punto

Si f es derivable en a:

f es estrictamente decreciente en a si:

f'(a) < 0

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para hallar el crecimiento y decrecimiento seguiremos los siguientes pasos:

1. Derivar la función.

2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.

Si f'(x) > 0 es creciente.

Si f'(x) < 0 es decreciente.

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo

Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:

CALCULO I. FUNCIONES.

Puntos de corte con el eje OX

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante.

Ejemplo

Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función:

Punto de corte con el eje OY

Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Ejemplo

Hallar el punto de corte con el ejes OY de la función:

Ejemplo de puntos de corte con los ejes

Hallar los puntos de corte con los ejes de la función:

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas:

Asíntotas horizontales

Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:

Asíntotas verticales

Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).

Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

Asíntotas oblicuas

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ejemplo

Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas